sábado, 12 de diciembre de 2009

Curvas y superficies de respuesta

Ajuste de curvas y superficies de respuesta

    Los diseños factoriales son muy útiles para el tamizado de factores, es decir, para identificar los factores más importantes que afectan el desempeño de un proceso (o caracterización del proceso, Montgomery, 2004). Una vez que se ha identificado el sunconjunto adecuado de variables del proceso, generalmente el paso siguiente es la optimización del proceso, que implica encontrar el conjunto de condiciones de operación de las variables del proceso que producen el mejor desempeño del mismo.
   Puede resultar útil ajustar una curva de respuesta a los niveles de un factor cuantitativo para que el investigador cuente con una ecuación que relacione la respuesta con el factor. Esta ecuación podría utilizarse para hacer interpolaciones, es decir, para predecir la respuesta en niveles intermedios entre los factores, respecto de los que se utilizaron realmente en el experimento.
   Cuando al menos dos de los factores son cuantitativos, puede ajustarse una superficie de respuesta para predecir   con varias combinaciones de los factores de diseño. En este sentido cabe destacar la metodología de superficies de respuesta (RSM), como el enfoque de optimización más exitoso y generalizado. En general, se usan métodos de regresión lineal para ajustar estos modelos a los datos experimentales. Además, los efectos de los factores cuantitativos pueden representarse con efectos polinomiales con un solo grado de libertad. De manera similar, es posible hacer la partición de las interacciones de factores cuantitativos en componentes de interacción con un solo grado de libertad. 

   El enfoque usual es utilizar el diseño de experimentos para determinar cuáles variables están influenciando la respuesta de interés.  Una vez que dichas variables son identificadas, se obtiene un estimado aproximado de la superficie de respuesta por medio de modelos factoriales especiales.  Esta superficie de respuesta se usa como guía para variar gradualmente los factores controlables que afectan la respuesta de manera tal que se mejore el valor de la respuesta.  Una vez que el cambio de los factores controlables no origine una mejora predecible en la variable de la respuesta, se puede aplicar un método de experimentación más sofisticado para encontrar la superficie de respuesta operativa final del proceso de interés. 
   Supongamos que un investigador desea encontrar los niveles de la variable  x1 y de  x2 que maximicen el rendimiento Y de un proceso. El rendimiento del proceso es una función de los niveles de la variable x1 y x2: Y=f(x1,x2)+epsilon.
   Donde epsilon representa el ruido o error observado en la respuesta Y. Si el valor de la respuesta se denota por E(Y)=f(x1,x2) entonces la superficie representada por  E(Y)=f(x1,x2)se llama superficie de respuesta. Para ayudar a visualizar la forma de una superficie de respuesta, con frecuencia se trazan los contornos de la superficie de respuesta (líneas de respuesta constante en el plano x1,x2). Cada contorno corresponde a una altura particular de la superficie de respuesta. La gráfica de contorno es útil para estudiar los niveles de  x1,x2 que producen cambios en la forma o altura de la superficie de respuesta.
   En la mayoría de los problemas de RMS no se conoce la forma de la relación entre la respuesta y las variables independientes. Por tanto el primer paso es encontrar una aproximación adecuada de la verdadera relación funcional entre   y las variables indepdendientes, por lo general se emplea un polinomio de orden inferior en alguna región de las variables independientes. Si una función de las variables independientes modela adecuadamente la respuesta, entonces a función de aproximación es el modelo lineal de primer orden:
 Y=beta0+beta1*x1+...+betaK*xK+epsilon
   Si hay curvatura en el sistema, entonces se debe utilizar un polinomio de orden superior, tal como el modelo lineal de segundo orden:        
  Y=beta0+sum(beta_j*x_j)+...+sum(beta_ij*x_ij)+epsilon
   El modelo lineal ocasiona que se modele la superficie de respuesta con líneas rectas o planos, mientras que las superficies de respuesta de segundo orden y mayores corresponden a formas geométricas más complejas. En ocasiones se utilizan modelos más complejos para la respuesta de superficie (Montogomery (2000), Montogomery y Myers (1995).

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